Veritasium 從文藝復興時代一道被認為不可能解開的問題說起。1494 年，Luca Pacioli 整理當時的數學知識，判定三次方程式不可能有通用解法。當時的代數仍緊緊連著幾何：平方是面積、三次方是體積，負數因為無法對應真實的長度與面積，甚至不被視為真正的數。
16 世紀的義大利數學界又把解題變成一場生存競賽。數學家會公開決鬥，解得比較少的人可能失去工作；Scipione del Ferro 因此把三次方程式的解法藏到臨終前，Tartaglia 則為了另一場決鬥重新推導出方法。他把「完成平方」延伸成「完成立方」，再把解法寫成一首詩。Cardano 後來找到把一般三次方程式轉成這類問題的方法，也在一場關於承諾、署名與優先權的爭議中將它寫進《Ars Magna》。
這個三次方程式明明有實數答案 4，公式卻逼數學家先走進虛數。Cardano 遇到平方根裡出現負數時，曾把它稱為既微妙又無用；Bombelli 卻決定把它當成一種新的數來計算。他將兩個立方根分別整理成 2 + √−1 與 2 − √−1，最後虛數部分互相抵消，只留下 2 + 2 = 4。虛數在這裡不是「沒有答案」的記號，而是抵達真實答案不可省略的中間步驟。
來源：影片畫面擷取自 YouTube／Veritasium（約 16:55）
接下來，代數逐漸不再需要每一步都能畫成可見的幾何形狀。Descartes 將這類數稱為 imaginary numbers，Euler 後來以 i 表示 √−1，並與實數一起構成複數。虛數不是逃離現實，而是讓數學換一條路回到物理。影片最後把這段歷史接到 1925 年的薛丁格方程式：乘上 i 在複數平面上相當於旋轉 90 度，而 e^(ix) 同時包含正弦與餘弦的波動結構，i 因此出現在描述量子波函數的核心方程式裡。
來源：影片畫面擷取自 YouTube／Veritasium（約 18:36）
擷取到的近期留言樣本也集中在影片的兩種魅力：有人以前只會背完成平方的公式，看到幾何拆法後才第一次理解這個名稱；也有人完全被數學家決鬥、祕密公式與把演算法寫成詩的歷史吸走，直接提議把 math duels 帶回來。抽象的虛數沒有被單獨丟成一條規則，而是放回一連串「原本的數學不夠用了，所以只好擴張它」的故事裡。
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